Fidias, su padre, astrónomo y matemático, lo envió a estudiar a Alejandría, el mayor centro del saber en el mundo de entonces, al observar las enormes cualidades de su hijo. Tras varios años formándose en la famosa Biblioteca, tuvo que regresar a su ciudad natal por la grave enfermedad de su padre, que le obligaba a hacerse cargo de mantener a la familia.
Fue entonces cuando se ofreció como ingeniero al rey Hierón II de Siracusa y diseñó las catapultas más grandes vistas hasta entonces y otros artefactos de guerra, gracias a los cuales la ciudad pudo resistir durante años los constantes asedios de Roma.
Durante toda su vida su inquieta mente le llevó a realizar innovadores estudios en Matemáticas, Astronomía o Física, aunque fue más conocido por sus inventos y las innumerables anécdotas que se citan para ilustrar su genialidad y su capacidad para aislarse del mundo cuando se enfrascaba en la solución de algún problema (se olvidaba de comer y descuidaba su higiene personal y hasta de asistir a reuniones con el rey).
La última de estas anécdotas es la que refiere su muerte, durante el último asedio romano, en el cual finalmente cayó la ciudad: se relata que, a pesar de que el general romano Marcelo había dado orden expresa de que fuera capturado vivo, un soldado romano le dio muerte por no hacerle caso cuando pretendía prenderlo, ya que estaba totalmente concentrado en un problema de geometría ("no molestes a mis círculos", le dijo).
Otra anécdota muy conocida de Arquímedes es aquella en la que afirma ante el rey que puede mover cualquier cosa con sus manos, incluido un barco, siempre que contase con la cantidad de cuerdas y poleas necesarias. En tono de broma se le preguntó si podría incluso mover el mundo, a lo que respondió muy seriamente: "dadme un punto de apoyo y moveré el mundo". A los pocos días, mediante un ingenioso y complejo sistema de poleas movió un barco con toda su tripulación dentro, en una demostración a la que asistió toda la ciudad y en la cual asombró al pueblo con una extraordinaria aplicación del principio de la palanca.
Aunque quizás la más famosa de las curiosidades que se relatan sobre la vida de Arquímedes sea aquella en la cual el rey le solicitó que comprobara si la corona que le habían fabricado era de oro puro, o el artesano había intentado engañarle sustituyendo parte del oro por plata. Tras varios días dando vueltas al problema (no podía fundir la corona para comprobar el volumen de la corona y así determinar su densidad), se le ocurrió la solución mientras se bañaba y en ese momento se levantó y salió corriendo desnudo a la calle gritando ¡eureka! (que en griego significa "lo encontré!"). Dicha solución era sumergir la corona en un recipiente lleno a rebosar de agua y comprobar qué cantidad de agua se derramaba, suponiendo que dicha cantidad equivaldría al volumen de la corona. Conocido el volumen y el peso, pudo determinar la densidad... que era inferior a la del oro, por lo que dedujo que en la corona, además de oro había otro metal menos denso, que hacía que la densidad media de la corona fuese menor que la del oro puro. Este hecho le hizo enunciar el famoso Principio de Arquímedes, según el cual cuando un objeto se sumerge en un fluido en reposo, dicho objeto sufre un empuje hacia arriba que es igual al volumen de líquido desalojado y al volumen del objeto introducido.
De este modo, si se hubiese introducido una balanza con la corona en un plato y el mismo peso de oro en el otro, al introducirla en agua, se hubiera comprobado la menor densidad de la corona, como se observa en la figura.
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- En Alejandría diseñó un ingenioso sistema para trasladar agua hacia arriba con un mínimo esfuerzo, denominado el tornillo de Arquímedes, que aún hoy es usado (ver figura).
- Encontró la fórmula para calcular el área de un círculo y, circunscribiendo en éste polígonos con cada vez mayor número de lados, logró una excelente aproximación al número "pi" (π), afirmando que se encontraba entre 3,140845... y 3,142857 (hoy día sabemos que π = 3,1416...).
- Diseñó extraordinarios mecanismos para estudiar el movimiento de los cuerpos celestes.
- Halló y demostró numerosos teoremas de Geometría: sobre la superficie de la sección de las parábolas, sobre conoides y esferoides o sobre espirales.
- En "la cuadratura de la parábola" demostró que el área definida por una parábola y una recta equivalía exactamente a los 4/3 del área del triángulo inscrito.
- El "número de Arquímedes" es un valor que se utiliza para analizar los movimientos de los fluidos, la flotabilidad o la fluidez en función de las diferencias de densidad.
- Desarrolló un sistema para diferenciar lo muy grande de lo infinito, intentando calcular el número de granos de arena que habría en todo el universo, para lo cual diseñó un sistema de numeración que pudiera abarcar cualquier cantidad (se llamó a Arquímedes "el contador de arena" por ello).
- El sistema de poleas que utilizó para mover todo un barco con sus manos se llama "poliplasto" y hoy día sigue siendo utilizado para levantar grandes pesos con un mínimo gasto de energía.Además de las máquinas de guerra, diseñó un barco de enorme tamaño y múltiples usos, el Siracusia, que fue el asombro de su época.
- Sobre la esfera y el cilindro: demostró que, dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro: Esta es una de sus obras más importantes, dada la dificultad de los cálculos que hubo de realizar y la precisión de los mismos. Arquímedes se sintió tan orgulloso de haber resuelto un problema tan complejo que se cuenta que pidió a sus familiares que colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un círculo, inscribiéndola en la proporción del continente respecto del contenido, es decir, 3/2.
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